JAN ZAHRADNÍK
Pedagogická fakulta Jihočeské univerzity v Českých Budějovicích
Motto:
Does one have to be a genius to do mathematics? The answer is an emphatic NO. In order to make good and useful contribution to mathematics, one does need to work hard, learn one`s field well, learn other fields and tools, ask questions, talk to other mathematicians, and think about the “big picture”. And yes, a reasonable amount of intelligence, patience, and maturity is also required. But one does not need some sort of magic “genius gene” that spontaneously generates ex nihilo deep insights, unexpected solutions to problems, or other supernatural abilities.
Terrence Tao , 2007
Co se týče matematiky, o té snad nikdo netvrdil, že by k pochopení jejímu bylo zapotřebí více nežli zdravého rozumu; přesná její logika, jasnost a evidence uvádí se co zvláštní její přednost. Mathematicky něco dokázati platí tolik jako vésti důkaz nezvratný a naprosto přesvědčující.
Časopis pro pěstování matematiky a fyziky, ročník VIII., 1879, str. 144; Listárna redakce, odpověď „Do Kroměříže“
V úvodu svého článku dovolím si ještě jednou citovat z Časopisu pro pěstování matematiky a fyziky z roku 1879, který jsem již jednou použil. Autor odpovědi, skrytý za titul Listárna redakce, ale zřejmě Dr. F. J. Studnička, profesor matematiky na C. k. universitě pražské a dlouholetý redaktor časopisu, začíná svou odpověď do Kroměříže takto: „Otázka, zdali se k mathematickému studiu vůbec a k pochopení mathematických důkazů zvláště hodí jen hlava specificky nadaná nebo zdali každý žák při náležité pilnosti může mathematickým požadavkům školním vyhověti, otázka tato bývá často předmětem úvah soukromých, když studující přinese domů z mathematiky známku nedostatečnou; při tom vyskytuje se zhusta dvojí omluva čili vlastně stížnost, buď že professor nevykládal dost jasně nebo že mathematika sama jest nejtěžší předmět, a jen málo kdy se pronese důvod jedině pravý, že nebyl žák dosti pozorným a pilným.“ Autor pak pokračuje dále, neznající současnou tak častou politickou korektnost: „Neníť ke studiu třeba zvláštních a specifických vloh, nýbrž jen zdravého rozumu a nepřetržité pilnosti. A kdo té nemá, tomu nepomůže ani nejlepší učitel.“
Jak je vidět, problém vnímání matematiky a jejího postavení ve společnosti netrápí jenom nás, české matematiky začátku 21. století, ale trápil i naše předky před 132 lety a trápí lidi, zajímající se o matematiku po celém světě.
Fenomén současného postavení matematiky v naší společnosti přiléhavě popisuje komentátor Lidových novin Martin Weiss ve sloupku Matematikou proti iracionalitě v Lidových novinách ze 7.12.2010. Říká mimo jiné: „Odpor k matematice, jenž slaví svůj triumf v tom, že tento předmět nebude ve státní maturitě povinný, je předzvěstí úpadku této společnosti. Matematika je typickým oborem, který se nedá převést na módní „komunikační dovednosti“, tedy na nějakou formu sebevyjádření. Nedá se okecat. Vyžaduje skutečné myšlení a skutečnému myšlení také učí, byť by člověk v praxi žádné konkrétní úlohy neřešil. Ignorovat matematiku by si netroufla žádná společnost na vzestupu, která má ambice a cíl. Troufne si ji ignorovat jen nasycená společnost ve chvíli, kdy podlehne pocitu, že bohatství a dobré věci se dostavují automaticky a úkolem dne je zajistit všem právo na tyto dobré věci.“
Jako jeden z důvodů pro nezařazení matematiky mezi povinné předměty státní maturity bývá uváděno, že by mohla být silně stresujícím faktorem pro ty, kteří na ni nemají nadání, že by případný špatný výsledek mohl poznamenat jejich budoucí život. Tento názor bývá často podporován různými hvězdami popkultury, které v rozhovorech uvádějí své školní problémy s matematikou jako nějakou přednost nebo snad důvod k obdivu. Dále bývá také argumentováno tím, že ti, kteří byli donuceni podstoupit trápení matematikou, nikdy ji pak v životě nepotřebovali.
Chci ukázat na jednom příkladu z přelomu 19. a 20. století, jak tomu bylo v době prapradědů dnešních maturantů. V protokolech o maturitních zkouškách na C.k. českém gymnasiu v Českých Budějovicích (současné gymnázium J.V. Jirsíka) z let 1899 – 1906 jsou uvedeny záznamy o maturitách 315 studentů, kteří tehdy skládali povinnou maturitní zkoušku z matematiky (a to jak ústní, tak písemnou). Připomínám, že dalšími povinnými předměty maturitní zkoušky byly latina, řečtina a čeština.
Soubor v protokolech obsahuje nejen údaje o studentech, ale také přesná znění příkladů, které byly maturantům u zkoušky zadávány. Celkem jich je 732. Mezi studenty je možné najít ty, u kterých zkoušející profesor předpokládal u maturitní zkoušky z matematiky výborný výkon, kteří tedy zřejmě v průběhu studia na gymnáziu projevovali zájem o matematiku nebo v ní dosahovali výborných výsledků a proto jim bylo možné zadat problémové nebo jinak náročné příklady. Možná i z toho důvodu, aby se jimi zkoušející pan profesor pochlubil. Tyto příklady se svou tématikou i mírou obtížnosti významně liší od příkladů, které byly zadávány ostatním studentům.
Podle těchto kritérií jsem vybral 53 studentů – premiantů v matematice (16,8%). Z nich bylo při maturitní zkoušce 46 „uznáno dospělými s vyznamenáním“ (86,8%), 7 „uznáno dospělými“. Je možné zabývat se tím, zda tito studenti měli nějaké vyjímečné dispozice k matematice, ať již co do rodinného původu, místa bydliště, zájmu o budoucí studium nebo nakonec i jejich životního povolání.
• Soubor je možné posoudit z hlediska sociálního původu abiturientů, tady podle povolání otce, které je uvedeno v protokolu o maturitní zkoušce. U 18 abiturientů je uvedeno jako povolání otce rolník , u 12 živnostník (fiakrista, obchodník, klempíř, zahradník, mlynář, řezník, barvíř, knihař, kovář), u 5 řídící učitel, u 5 dělník nebo nádeník, u 5 jiný zaměstnanec (sládek, lesní, šafář, dozorce trati), u 2 advokát nebo soudní rada, u 2 domkář, u 2 velkostatkář nebo nájemce velkostatku, u 1 c.k. profesor, u 1 c.k. školní rada.
• Z uvedených 53 maturantů jich 24 hodlalo dále studovat theologii, 18 filosofii, 7 práva, 2 techniku a po jednom hornictví a vojenství.
• Dalším zajímavým údajem, který je uveden ve sborníku Šedesát let Jirsíkova gymnasia, vydaném v roce 1928 nákladem Výboru pro oslavu šedesátiletého trvání ústavu v Českých Budějovicích, je údaj o povolání a působišti abiturientů. Podle tohoto sborníku působilo 18 abiturientů z mého souboru jako profesoři na středních školách (z toho 5 jako profesoři matematiky a fyziky), 1 jako řádný profesor fyziky na Univerzitě Karlově, 10 jako duchovní (z toho 7 jako faráři, 3 jako vojenští duchovní), 6 ve státní správě, 4 jako advokáti, 4 jako soudní radové, 2 jako lékaři, 2 u správy železnic a 1 jako důlní inženýr. U 5 abiturientů z mého souboru nebylo jejich povolání uvedeno, buď z důvodu jejich předčasného úmrtí nebo nebylo autorům sborníku známo.
• Ve 4 třídách byl profesorem zkoušejícím matematiku prof. Josef Moravec, ve 4 třídách pak prof. Dr. Jan Chloupek.
Z 93 příkladů zadaných premiantům jich bylo 26 z analytické geometrie, 18 na rovnice a jejich soustavy, 11 na objemy a povrchy těles, 5 na kombinatoriku, 5 na diferenciální počet (limita funkce, tečna ke grafu funkce, extrém), 4 na posloupnosti a jejich limity, 4 na nekonečné řady, 3 na integrální počet (příklady na určení obsahu plochy pod křivkou nebo objemu rotačního tělesa), 3 na číselné obory, 3 na goniometrii, po 2 na finanční matematiku, binomickou větu, řetězové zlomky a po 1 příkladu na geometrické konstrukce, sférickou trigonometrii, pravděpodobnost, determinanty a úpravy výrazů.
Dále uvádím ukázku 79 příkladů, které byly vybraným maturantům v letech 1899 – 1906 zadány a které nebyly uvedeny v článku „Jak maturovali gymnasisté na přelomu 19. a 20. století“ v MFI, číslo 2, ročník 20. Čísla v závorce za textem příkladu znamenají známku, kterou zkoušející profesor za řešení daného příkladu maturantovi navrhl.
Školní rok 1898 – 1899
Zkoušející profesor: Josef Moravec
• Stanovte geometrické místo tečných kruhu stojících na sebe kolmo. (1)
• Dvojčlen povyšte na mocnost n tou a vymezte pro . (2)
• Kruh probíhá bodem (5 ,0), zevně dotýká se kruhu , určete geometrické místo středů kruhu tohoto. (1)
• Rozdíl čtverců dvou celistvých čísel rovná se 24, která čísla to jsou? (2)
• Kruh dotýká se zevně kruhu daného b daném bodě a mimoto dotýká se dané přímky; stanovte rovnici onoho kruhu. ( 2)
• Pol poláry kruhu je na přímce a vzdálenost jeho od poláry jest . Stanovte pól a poláru (její rovnici). (1)
• Který vztah platí mezi osami elipsy a hyperboly, když se pravoúhle protínají? (1)
• Do elipsy vpíšeme kruh nad malou osou, obdržíme tím měsíčky, pak nad velkou osou opíšeme zase kruh, čímž obdržíme nové měsíčky. Stanovte poměr ploch těch obou měsíčků. (1)
• . Stanoviti x. (2)
Školní rok 1899 – 1900
Zkoušející profesor: Dr. Jan Chloupek
• Na elipse jest vyhledati bod přímce nejbližší. (1)
• (1)
• Koule proťata jest rovinným řezem, jehož plocha rovná se 1/3 hlavního řezu a kůžel nad řezem tím se nalézající činí 480 . (1)
• ( 1)
• (2)
• Na elipse vyhledati bod, jenž by byl co nejblíže dané přímky a určiti vzdálenost bodu od přímky. (1)
• Dána jest křivka . Vyhledati rovnici tečné v bodě . (1)
• . (1)
• (1)
• Do rovnostranného kůžele vypsána jest koule; rovinou se základnou rovnoběžnou dotýkající se koule vzniká menší kůžel, do něhož je vepsána zase koule, atd. Určete součet všech takto vzniklých koulí. ( 2)
Školní rok 1900 – 1901
Zkoušející profesor: Josef Moravec
• Jak daleko jest pól o souřadnicích (4, 3) od poláry kruhu, jehož rovnice je . (1)
• Konstrukce výrazu . ( 1)
• Kruh dotýká se kruhu a prochází bodem A(5, 0); stanovte geometrické místo souřadnic jeho středu. (1)
• Na ellipse vyhledati bod, jehož stg = 6. (1)
• Vyšetřiti geometrické místo průseků tečen kruhu k sobě kolmých. (1)
• Z látky, jejíž specifická váha je je vyroben kužel; do něho vyhloubíme ze základny kužel dutý podobný, aby celek plul na vodě; jak veliký bude nový kužel? (2)
• Stanovte . (2)
Školní rok 1901 – 1902
Zkoušející profesor: Dr. Jan Chloupek
• (1)
• V geometrické řadě dáno . Určiti součet. ( 1)
• Určiti obsah prstenu vzniklého otočením ellipsy kolem přímky rovnoběžné s osou hlavní. (1)
• (1)
• V trojúhelníku dán součet všech stran a dva úhly; jest řešiti trojúhelník. (2)
• . (1)
• Který úhel svírá tečna křivky s osou x ovou, je-li společný bod určen souřadnicí . (1)
• Plocha omezená parabolou a tětivou společnou s kruhem . (1)
• Rozděliti přímku tak, aby plocha obdélníka byla maximální. (2)
• (2)
• ( 1)
• Do kružnice vepsán úhelník pravidelný; jeho obvod? (2)
Školní rok 1902 – 1903
Zkoušející profesor: Dr. Jan Chloupek
• Jest vyhledati krychlový obsah prstenu, jenž vznikne otočením elipsy kol osy rovnoběžné s velkou osou, je-li velká osa elipsy a = 2 cm, výstřednost a vnitřní poloměr prstenu je 5 cm. (1)
• V jak velkém úhlu seče křivka osu y. (1)
• (2)
• Jak velký jest krychlový obsah kolmého kužele, tvoří-li jeho plášť do roviny rozvinutý kruhový výsek o středovém úhlu a poloměru s = 1.5 cm. (3)
• Drát, jehož průřez jest kruh o poloměru svinut jest v prsten kruhový, takže poloměr kruhu jeho osou utvořeného . Tento kruh leží na vodorovné rovině a na něm a na téže rovině leží koule, jež se dotýká prstenu i roviny. Vyhledati jest její krychlový obsah. (1)
• . (1)
• ( 2)
• Kdosi uloží a = 10.000 K do banky tak, aby sobě neb svým dědicům po 20 letech pojistil peněžitou rentu n = 20 let trvající a každého roku splatnou a rok od roku o 100 K se zvětšující, zúročuje-li se 4%; jak velká bude první renta. (1)
• Eliptické okno má býti veliké, je-li vedlejší osa úsek zlatým řezem rozdělené hlavní osy. (1)
• Ku parabole vedena jest bodem ´= 9 tečna, jež v témže bodě se dotýká i kružnice; je-li střed kružnice na kladné ose x ové, jest ustanoviti její rovnici a rovnici té tečné. (1)
Školní rok 1903 – 1904
Zkoušející profesor: Josef Moravec
• Libovolný bod ellipsy spojen je s oběma vrcholy hlavní osy; v jednom z těchto vrcholů je vztyčena kolmice na spojnici; ta se protíná s druhou spojnicí v bodě N. Geometrické místo těchto bodů. (2)
• Čtyři za sebou jdoucí čísla dávají v součinu 3024; která to jsou. (2)
• Zahradník má něco méně než 50 stromů; vsadí-li je po pěti do řad, zbývá mu jeden, sází-li po sedmi, nedostávají se mu dva; kolik jich je? (1)
• Určiti průsečík normál paraboly vedených v bodech (4, 4) a (1, 2). ( 2)
• Tloušťka čočky ploskovypuklé je 6 mm, obvod její 6 cm; jaký je obsah a váha při specifické hmotě skla 2.4? ( 2)
• 2 strany trojúhelníka mají rovnice 2x – 3y = 7, 3x + y = 49; průsečík výšek je v bodě (26, 4); stanoviti rovnici třetí strany. (1)
• Někdo má 3 skříně a 19 různých koulí; do prvé vloží 4, do druhé 6, do třetí 9; kolikrát to může učinit? (1)
• Určete na parabole bod nejbližší přímce 3x = 4y – 69. (1)
• Kužel o poloměru 3 cm má obsah 30.68 ; z kterého kruhu je vzat plášť a k jakému úhlu středovému náleží? ( 2)
• Dány dva body; každým prochází přímka; tyto přímky se otáčejí kolem daných bodů tak, že svírají stále úhel stálý; stanoviti geometrické místo průseku. (1)
• Hospodář koupil za 1200 K ovcí, z nichž si 15 ponechal a prodal ostatní za 1080 K, při každé vydělal 4K; kolik jich bylo? (1)
• Dány rovnice kruhů ; určiti průsek chordál. (1)
• řešiti. (1)
• Proměnlivý kruh probíhá stále bodem (4, 0) a dotýká se přímky x = -4; najíti geometrické místo jeho středu. ( 2)
Školní rok 1904 – 1905
Zkoušející profesor: Josef Moravec
• Větou binomickou . (2)
• Polára ellipsy má rovnici ; určete pól. (2)
• Tři čísla tvoří úměru spojitou, součet jich jest 126, součin 19 824. (3)
• Kolikerým způsobem lze vyplatiti 48K 60k samými korunami a markami, počítáme-li marku za 120k? (2)
• Pravoúhlý trojúhelník o podponě 12 cm a jednom úhlu otočí se kol podpony. Vypočtěte objem rotačního těla. (3)
• . (2)
• Sdružené průměry ellipsy mají rovnice , . Určete rovnici ellipsy prochází-li tato ještě bodem (-4, 3). (1)
• Jak velkou železnou kostku (s = 7,7) lze položiti na čtvercovou dřevěnou desku ( = 0,68), jejíž rozměry jsou: strana 4 dm a tloušťka 2 cm, aby se ve vodě potopila jen deska dřevěná? (2)
• ( 2)
• Na osách jsou dány úsečky, které tvoří obdélník daného obsahu. Vyhledat geometrické místo čtvrtého vrcholu. (2)
Školní rok 1905 – 1906
Zkoušející profesor: Dr. Jan Chloupek
• . (1)
• V které vzdálenosti jest na svahu odchýleném od vodorovné roviny o sázeti stromy, aby byly až dospějou nahoře 6 m od sebe vzdáleny. (1)
• Je-li x = 0, určete hodnotu zlomku . (1)
• Nad podstavou polokoule obsahu 50 jest postaven kužel, jeho výška je průměr koule. Určete společnou část. (1)
• Kolikátá permutace z prvků a, o, p, r, v je právo? (1)
• Jak vysoký je válec o poloměru r, jenž se právě převrátil na šikmé ploše skleněné o úhlu . (1)
• Elipsa v poloze osové má ohnisko (4, 0) a prochází bodem (4, 1/5). (1)
Kdo byli mladí muži, kteří u maturitní zkoušky řešili tyto poměrně náročné úlohy? Třicet jedna z nich pocházelo z jihočeských vesnic, pět z Českých Budějovic, pět z jiných jihočeských měst a konečně dvanáct mělo své rodiště ve vesnicích a městech mimo jižní Čechy. Velká většina z nich byla ve svých rodinách první, kdo se setkal s matematikou na této úrovni. Určitě měli matematiku rádi, byli v ní úspěšní a byli na ni takříkajíc nadaní. Neměli ale žádný zázračný „genius gen“, řečeno slovy Terrence Taa. Čím byli vybaveni, byla schopnost pilně a soustředěně pracovat, kterou si přinesli ze svých rodin a kterou v nich gymnázium podporovalo. To je schopnost, kterou musí naše střední školství v mladé generaci pěstovat i dnes. Budeme–li nadále zavrhovat matematiku, bude to samozřejmě tím těžší.
L i t e r a t u r a
[1] Státní okresní archiv České Budějovice: Jirsíkovo státní gymnasium, Maturitní protokoly, inv. č. 1200, signatura II/b/IV – 42, 1894 – 1906, karton č. 60, 61.
[2] Státní okresní archiv České Budějovice: Jirsíkovo státní gymnasium, Výkaz o zkouškách maturitních 1899, Přehled výsledků zkoušek maturitních 1900 – 1906, inv. č. 1021 – 1028, signatura I/c – 1013 – 1020, kniha č. 1021 – 1028.
[3] Státní okresní archiv České Budějovice: Hlavní katalog 1899 – 1899, …, 1905 – 1906, inv. č. 40 – 47, sign. I/c – 32 – 39, kniha č. 40 – 47.
[4] 1868 – 1928 Šedesát let Jirsíkova gymnasia v Č. Budějovicích, vydal Výbor pro oslavu šedesátiletého trvání ústavu v Českých Budějovicích, vytiskla knihtiskárna Karla Fialy, České Budějovice,1928.
[5] Časopis pro pěstování mathematiky a fysiky, red. Dr. F.J. Studnička, , roč. VIII., vydala Jednota českých matematiků v Praze 1879.
[6] Weiss, M., Matematikou proti iracionalitě, Lidové noviny, str. 1, Praha, 7. 12. 2010.
[7] Tao, T., http://terrytao.wordpress.com/career-advice/does-one-have-to-be-a-genius-to-do-maths/